칼손의 부등식 (Carlson's inequality, -不等式)은 스웨덴 수학자 프리츠 다비드 칼손 (Fritz David Carlson)이 1934년 제출하여 그의 이름이 붙은 부등식 이다.[ 1] 코시-슈바르츠 부등식 에서 순수하게 대수적으로 유도할 수 있는 합 형태와
L
2
{\displaystyle L_{2}}
실해석학 의 기법으로 유도할 수 있는 적분 형태의 두 종류이다. 두 경우 모두 자주 쓰이는 형태는 유사한데, 이산 형태와 연속 형태로 불리기도 한다.
합 형태 칼손의 부등식은 보통 다음과 같은 두 형태 중 하나로 사용된다.[ 1] [ 2]
임의의 실수
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
{\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}
(
∑
i
=
1
n
a
i
)
2
<
π
2
6
(
∑
i
=
1
n
i
2
a
i
2
)
.
{\displaystyle (\sum _{i=1}^{n}a_{i})^{2}<{\frac {\pi ^{2}}{6}}(\sum _{i=1}^{n}i^{2}a_{i}^{2}).}
임의의 실수
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
{\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}
(
∑
i
=
1
n
a
i
)
4
<
π
2
(
∑
i
=
1
n
a
i
2
)
(
∑
i
=
1
n
i
2
a
i
2
)
.
{\displaystyle (\sum _{i=1}^{n}a_{i})^{4}<\pi ^{2}(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2})(\sum _{i=1}^{n}i^{2}a_{i}^{2}).}
둘 모두 코시-슈바르츠 부등식에서 쉽게 유도가능하다.[ 1] [ 2]
a
i
{\displaystyle {a_{i}}}
c
1
,
c
2
,
.
.
.
,
c
n
{\displaystyle c_{1},c_{2},...,c_{n}}
(
a
1
+
.
.
.
+
a
n
)
2
=
(
a
1
⋅
c
1
⋅
1
c
1
+
.
.
.
+
a
n
⋅
c
n
⋅
1
c
n
)
2
≤
(
a
1
2
c
1
2
+
.
.
.
+
a
n
2
c
n
2
)
(
1
c
1
2
+
.
.
.
+
1
c
n
2
)
.
{\displaystyle (a_{1}+...+a_{n})^{2}=(a_{1}\cdot c_{1}\cdot {\frac {1}{c_{1}}}+...+a_{n}\cdot c_{n}\cdot {\frac {1}{c_{n}}})^{2}\leq (a_{1}^{2}c_{1}^{2}+...+a_{n}^{2}c_{n}^{2})({\frac {1}{c_{1}^{2}}}+...+{\frac {1}{c_{n}^{2}}}).}
을 얻는다. 여기서
C
n
:=
1
c
1
2
+
.
.
.
+
1
c
n
2
{\displaystyle C_{n}:={\frac {1}{c_{1}^{2}}}+...+{\frac {1}{c_{n}^{2}}}}
(
a
1
+
.
.
.
+
a
n
)
2
≤
C
n
(
a
1
2
c
1
2
+
.
.
.
+
a
n
2
c
n
2
)
.
{\displaystyle (a_{1}+...+a_{n})^{2}\leq C_{n}(a_{1}^{2}c_{1}^{2}+...+a_{n}^{2}c_{n}^{2}).}
여기서
c
i
=
i
{\displaystyle c_{i}=i}
C
n
<
ζ
(
2
)
=
π
2
6
{\displaystyle C_{n}<\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
c
i
2
=
t
+
i
2
t
{\displaystyle c_{i}^{2}=t+{\frac {i^{2}}{t}}}
C
n
=
t
t
2
+
1
2
+
t
t
2
+
2
2
+
.
.
.
+
t
t
2
+
n
2
<
π
2
.
{\displaystyle C_{n}={\frac {t}{t^{2}+1^{2}}}+{\frac {t}{t^{2}+2^{2}}}+...+{\frac {t}{t^{2}+n^{2}}}<{\frac {\pi }{2}}.}
이 된다.
P
:=
a
1
2
+
.
.
.
+
a
n
2
,
Q
:=
a
1
2
+
2
2
a
2
2
+
.
.
.
+
n
2
a
n
2
{\displaystyle P:=a_{1}^{2}+...+a_{n}^{2},Q:=a_{1}^{2}+2^{2}a_{2}^{2}+...+n^{2}a_{n}^{2}}
t
=
Q
P
{\displaystyle t={\sqrt {\frac {Q}{P}}}}
(
a
1
+
.
.
.
+
a
n
)
2
≤
C
n
(
a
1
2
c
1
2
+
.
.
.
+
a
n
2
c
n
2
)
<
π
2
(
t
(
a
1
2
+
.
.
.
+
a
n
2
)
+
1
t
(
a
1
2
+
2
2
a
2
2
+
.
.
.
+
n
2
a
n
2
)
)
=
π
2
(
t
P
+
1
t
Q
)
=
π
P
Q
.
{\displaystyle (a_{1}+...+a_{n})^{2}\leq C_{n}(a_{1}^{2}c_{1}^{2}+...+a_{n}^{2}c_{n}^{2})<{\frac {\pi }{2}}(t(a_{1}^{2}+...+a_{n}^{2})+{\frac {1}{t}}(a_{1}^{2}+2^{2}a_{2}^{2}+...+n^{2}a_{n}^{2}))={\frac {\pi }{2}}(tP+{\frac {1}{t}}Q)=\pi {\sqrt {PQ}}.}
이제 양 변에 제곱을 취하면 두 번째 부등식을 얻는다.
적분 형태 칼손의 부등식도 위와 같은 두 가지 형태가 모두 가능하다. 두 번째 형태만 직접 서술해 보면 다음과 같다.
만약 f가 실수값 함수이고
f
,
x
f
∈
L
2
(
0
,
∞
)
{\displaystyle f,xf\in L_{2}(0,\infty )}
(
∫
0
∞
f
(
x
)
d
x
)
4
<
π
2
(
∫
0
∞
f
2
(
x
)
d
x
)
(
∫
0
∞
x
2
f
2
(
x
)
d
x
)
.
{\displaystyle (\int _{0}^{\infty }f(x)dx)^{4}<\pi ^{2}(\int _{0}^{\infty }f^{2}(x)dx)(\int _{0}^{\infty }x^{2}f^{2}(x)dx).}
↑ 가 나 다 Arthur Engel (1997), Problem-Solving Strategies , Springer Verlag, p.175.
↑ 가 나 ibid. , p.176.
